Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE. Gọi H, K thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ B và C đến đường thẳng DE. Chứng minh rằng HE = DK

Vì BD, CE  là các đường cao của △ABC nên BD⊥AC,CE⊥AB, do đó △BDC vuông tại D, △CEB vuông tại E.

Gọi M là trung điểm của BC, vẽ DM, EM thì DM, EM là các trung tuyến ứng với cạnh huyền của △BDC và △CEB.

Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền vào 2 tam giác vuông trên, ta được:

DM=12BC;EM=12BC⇒DM=EM⇒ΔMDE cân tại M

Từ giả thiết ta có tứ giác BKHC là hình thang vuông nên vẽ thêm MI⊥DE  thì BH // MI // CK   (1)

Mà BM = MC  (cách vẽ)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra BH, MI, CK là ba đường thẳng song song cách đều nên chúng chắn trên đường thẳng HK hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là HI = IK  (3)

Ta có DM = EM  suy ra △MDE  cân tại M , có MI là đường cao ứng vói cạnh đáy DE nên EI = ID  (4)

Trừ theo vế đẳng thức (3) cho (4) ta được EH = DK