Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) có đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy điểm D sao cho HD=HB. Từ D kẻ DE⊥AC, từ C kẻ CF⊥AD. Kéo dài AH và CF cắt nhau tại K.
11/20
Cho tam giác nhọn \(ABC\) \(\left( {AB < AC} \right)\) có đường cao \(AH\). Trên đoạn thẳng \(HC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(HD = HB\). Từ \(D\) kẻ \(DE \bot AC\), từ \(C\) kẻ \(CF \bot AD\). Kéo dài \(AH\) và \(CF\) cắt nhau tại \(K\).
Khi đ ó:
\(\widehat {HAC} > \widehat {BAH}\).
\(\Delta ABH = \Delta DAH\).
\(D\) là trực tâm của \(\Delta AKC\).
Ba đường thẳng \(AH,DE,CF\) đồng quy.
a) Đúng.
Xét \(\Delta ABC\) có \(AB < AC\) nên \(\widehat C < \widehat B\).
Mà \(\widehat C = 90^\circ - \widehat {HAC}\) và \(\widehat B = 90^\circ - \widehat {BAH}\).
Do đó \[90^\circ - \widehat {HAC} < 90^\circ - \widehat {BAH}\] hay \(\widehat {HAC} > \widehat {BAH}\).
b) Sai.
Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ADH\) có:
\(\widehat {AHB} = \widehat {AHD} = 90^\circ \);
\(AH\) là cạnh chung;
\(HB = HD\) (giả thiết).
Do đó \(\Delta ABH = \Delta ADH\) (hai cạnh góc vuông).
Suy ra \(AB = AD\) (hai cạnh tương ứng).
Tam giác \(ABD\) có \(AB = AD\) nên là tam giác cân tại \(A\).
c) Đúng.
Xét \(\Delta AKC\) có \(CH \bot AK,AF \bot CK\), \(CH\) cắt \[AF\] tại \(D\) nên \(D\) là trực tâm của \(\Delta AKC\).
d) Đúng.
Vì \(D\) là trực tâm của \(\Delta AKC\) suy ra \(KD \bot AC\)
Mà \(DE \bot AC\) nên ba điểm \(K,D,E\) thẳng hàng.
Vậy ba đường thẳng \(AH,DE,CF\) đồng quy.