Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm
7/7
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I và tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là điểm M.
a) Chứng minh rằng MB = MC = MI.
b) Đường thẳng DM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. Chứng minh rằng tứ giác AKFE nội tiếp.
c) Đường thẳng đi qua A và song song với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại điểm thứ hai là P. Chứng minh rằng KP vuông góc với KD.
a) Do AI là tia phân giác của góc BAC nên M là điểm chính giữa cung BC không chứa A của (O) \[ \Rightarrow \]MB=MC.
Từ đó ta có biến đổi góc sau:
Do đó tam giác MBI cân tại M hay MB=MI. Mặt khác ta cũng có MB=MC. Vậy MB=MC=MI\[ \Rightarrow \]đpcm.
Gọi K là giao điểm thứ hai của (AEF) và (O). Ta sẽ chứng minh K\( \equiv \)K’. Thật vậy:
Do tứ giác AK’FE nội tiếp nên (1)
Mặt khác : ( góc nội tiếp cùng chắn cung BC của (O). (2)
Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \]
. Gọi K’ là giao điểm thứ hai của (AEF) và (O). Ta sẽ chứng minh K\( \equiv \)K’. Thật vậy:
Do tứ giác AK’FE nội tiếp nên (1)
Mặt khác : ( góc nội tiếp cùng chắn cung BC của (O). (2)
Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow \]
Mặt khác: K'BF⏜=K'BA⏜=K'CA⏜=K'CE⏜.
Từ đó suy ra △K'BF~△K'CE(g.g).
\[ \Rightarrow \]K’D là phân giác của góc BK’C.
Mà M cũng chính là điểm chính giữa cung BC không chứa K’ của (O) \[ \Rightarrow \]K’, D, M thẳng hang.
Vậy K\( \equiv \)K’.
b) Xét hai tam giác MBD và MKB, ta có:
Xét hai tam giác MID và MKI, ta có:
Ta có: API⏜=AEI⏜=90°⇒AP⊥PI. Mà \[AP\parallel BC \Rightarrow PI \bot BC.\]
Mặt khác : \[ID \bot BC.\]Từ đó suy ra P,I,D thẳng hàng.
Từ (3) và (4) ⇒MKI⏜=90°−PKI⏜⇒MKP⏜=90°hay \[KP \bot KM.\]