Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.

a) Vì \(\widehat {BFC} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta BFC\) vuông tại \(F\) nên 3 điểm \(B,\,\,F,\,\,C\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(BC.\)

Lại có \(\widehat {BEC} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta BEC\) vuông tại \(E\) nên 3 điểm \(B,\,\,E,\,\,C\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(BC.\)

Suy ra bốn điểm \(B,\,\,C,\,\,E,\,\,F\) cùng nằm trên một đường tròn.

b) Ta có: \(\widehat {NBC} + \widehat {BNC} = 90^\circ \) mà \(\widehat {BNC} = \widehat {BAC}\) (cùng chắn ) nên \(\widehat {NBC} + \widehat {BAC} = 90^\circ \).

Mà \(\widehat {ABE} + \widehat {BAC} = 90^\circ \) suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {NBC}\).

Ta có: \(\widehat {ABE} = \widehat {NBC}\) mà \(\widehat {NMC} = \widehat {NBC}\) (cùng chắn ) suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {NMC}\) (1)

Ta có: \(\widehat {MNC} = \widehat {MAC}\) (cùng chắn )

Mà 

Suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {BAH}\).

Do đó \(\widehat {MNC} = \widehat {BAH}\) (2)

Từ (1), (2) suy ra $\Delta MNC\backsim \Delta BAH$ (g.g) suy ra \(\frac{{NC}}{{AH}} = \frac{{CM}}{{BH}}\) nên \(AH \cdot CM = BH \cdot CN\).

c) Ta có \[GE = AE \cdot \sin \widehat {GEA} = \sin \widehat {KBD} \cdot AB \cdot \sin \widehat {BAD}.\]

Ta có \[KD = BD \cdot \sin \widehat {KBD} = AB \cdot \sin \widehat {BAD} \cdot \sin \widehat {KBD}\].

Vậy \[GE = KD.\]