Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có hai đường cao BD và CE. a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.

a) Ta có BD ⊥ AC, CE ⊥ AB nên tam giác BEC vuông tại E và tam giác BDC vuông tại D.

∆BEC vuông tại E nên nội tiếp đường tròn đường kính BC. (1)

∆BDC vuông tại D nên nội tiếp đường tròn đường kính BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

b) Ta có BD là bán kính đường tròn (B; BD) và BD ⊥ AC nên AC là tiếp tuyến của đường tròn (B; BD).

c) Xét ∆BHD và ∆BDC có:

Góc B chung; \[\widehat {BHD} = \widehat {BDC} = 90^\circ \]

Do đó ∆BHD ᔕ ∆BDC (g.g)

Suy ra \[\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{BH}}{{BD}}\]  hay BD² = BH.BC.

Ta lại có BD = BK (bán kính đường tròn (B; BD)) nên BK² = BH.BC.

Suy ra \[\frac{{BH}}{{BK}} = \frac{{BK}}{{BC}}\]

Xét ∆BHK và ∆BKC có:

Góc B chung; \[\frac{{BH}}{{BK}} = \frac{{BK}}{{BC}}\]

Do đó ∆BHK ᔕ ∆BKC (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {BKH} = \widehat {BCK}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {BMH} = \widehat {BCK}\) (cùng phụ với \(\widehat {ABC})\) nên \(\widehat {BMH} = \widehat {BKH}.\)