Cho tam giác nhọn Δ A B C ( A B < A C ) nội tiếp đường tròn ( O ) . Các đường cao B E , C F cắt nhau tại H . (a) Chứng minh tứ giác A F H E nội tiếp được đường tròn. (b) Chứng minh

a) Vì \(BE\) và \(CF\) là các đường cao của \(\Delta ABC.\) Suy ra \(BE \bot AC\)và \(CF \bot AB\).

Suy ra \(\widehat {AEH} = \widehat {AFH} = 90^\circ \).

Gọi \[N\] là trung điểm của \(AH\), ta có tam giác \[AHE\] vuông tại \[E\], có \[EN\] là trung tuyến nên \[NH = NE = NA\](1) (Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Tam giác \[AHF\] vuông tại \[F,\] có \[FN\]là trung tuyến nên \[NH = NF = NA\](2) (Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Từ (1), (2) ta có \[NH = NF = NA = NE\] nên \[E,F,H,A\]cùng thuộc đường tròn một đường tròn hay tứ giác \(AFHE\) nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh được (g.g)

Suy ra: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AF}}\)

Do đó \(AF.AB = AE.AC\)

c) Chứng minh được tứ giác \[AFIC\] nội tiếp được đường tròn nên \(\widehat {ACF} = \widehat {AIF}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \[AF\])

\[M\] là trung điểm của \(BC.\) nên \[OM\] vuông góc với \[BC\]

Chứng minh được tứ giác \[OMIC\] nội tiếp được đường tròn nên \(\widehat {OIM} = \widehat {OCM}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \[OM\])

Ta chứng minh được: \(\widehat {ACF} = \widehat {OCM}\)

Từ đó suy ra: \(\widehat {OIM} = \widehat {AIF}\).

Suy ra: ba điểm \[M,I,F\]thẳng hàng.