Cho tam giác MNP vuông cân tại P có cạnh PN = 5 cm. Một đường thẳng d bất kì đi qua đỉnh

14/14

Cho tam giác $MNP$ vuông cân tại $P$ có cạnh $PN = 5{\rm{\;cm}}.$ Một đường thẳng $d$ bất kì đi qua đỉnh $P$ và cắt cạnh $MN$ tại 1 điểm nằm giữa $M$ và $N.$ Chứng minh rằng tổng bình phương các khoảng cách từ $M$ và $N$ đến đường thẳng $d$ không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng $d.$

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tam giác $MNP$ vuông cân tại $P$ có cạnh PN = 5 cm. Một đường thẳng $d$ bất kì đi qua đỉnh (ảnh 1)$

Gọi $MH,\,\,NK$ lần lượt là khoảng cách từ $M,\,\,N$ đến đường thẳng $d.$ Khi đó $MH \bot d,\,\,NK \bot d.$

Do $\Delta MNP$ vuông tại $P$ nên $\widehat {{P_1}} + \widehat {{P_2}} = 90^\circ .$ (1)

Do $\Delta MHP$ vuông tại $H$ nên $\widehat {{P_1}} + \widehat {PMH} = 90^\circ .$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {{P_2}} = \widehat {PMH}.$

Xét $\Delta MHP$ (vuông tại $H)$ và $\Delta NPK$ (vuông tại $K)$ có:

$MP = PN$ (do $\Delta MNP$ cân tại $P),$

$\widehat {{P_2}} = \widehat {PMH}.$

Do đó $\Delta MHP = \Delta NPK$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra $MH = PK$ (hai cạnh tương ứng).

Do $\Delta NKP$ vuông tại $K$ nên theo định lí Pythagore ta có:

$P{N^2} = P{K^2} + N{K^2} = M{H^2} + N{K^2}$

Mà $PN = 5{\rm{\;cm}}$ nên $M{H^2} + N{K^2} = {5^2} = 25$ (không thay đổi).

Vậy tổng bình phương các khoảng cách từ $M$ và $N$ đến đường thẳng $d$ không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng $d.$.