Cho tam giác MNP có ba đường phân giác MA, NB, PC cắt nhau tại I. Vẽ IH vuông góc NP tại H. Cho các khẳng định sau:

Đáp án đúng là: A

Xét DMNP có ba đường phân giác MA, NB, PC cắt nhau tại I nên I cách đều ba cạnh của tam giác. Điểm I không phải là giao điểm ba đường trung trực của tam giác nên không cách đều ba đỉnh. Do đó (I), (III) là sai.

Vì MI là tia phân giác của góc NMP nên \(\widehat {NMI} = \widehat {PMI} = \frac{1}{2}\widehat {PMN}\).

Vì NI là tia phân giác của góc MNP nên \(\widehat {MNI} = \widehat {PNI} = \frac{1}{2}\widehat {MNP}\).

Vì PI là đường phân giác của góc MPN nên \(\widehat {NPI} = \widehat {MPI} = \frac{1}{2}\widehat {MPN}\).

Xét DMIP có \(\widehat {MIP} + \widehat {MPI} + \widehat {PMI} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)

Nên \(\widehat {MIP} = 180^\circ - \left( {\widehat {MPI} + \widehat {PMI}} \right)\)

Suy ra \(\widehat {MIP} = 180^\circ - \frac{1}{2}\left( {\widehat {MPN} + \widehat {PMN}} \right)\).

Xét DMNP có \(\widehat {MNP} + \widehat {MPN} + \widehat {PMN} = 180^\circ \)(tổng ba góc trong một tam giác)

Nên \(\widehat {MPN} + \widehat {PMN} = 180^\circ - \widehat {MNP}\).

Do đó \(\widehat {MIP} = 180^\circ - \frac{1}{2}\left( {180^\circ - \widehat {MNP}} \right)\)

Hay \(\widehat {MIP} = 180^\circ - 90^\circ + \frac{1}{2}\widehat {MNP} = 90^\circ + \frac{1}{2}\widehat {MNP}\).

Ta có \(\widehat {MIP} + \widehat {PIA} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {PIA} = 180^\circ - \widehat {MIP} = 180^\circ - \left( {90^\circ + \frac{1}{2}\widehat {MNP}} \right) = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {MNP}\)(1)

Vì DINH vuông tại H nên \(\widehat {HIN} + \widehat {HNI} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra \(\widehat {HIN} = 90^\circ - \widehat {HNI} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {MNP}\)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {NIH} = \widehat {PIA}\). Do đó (II) là đúng.

Vậy ta chọn phương án B.