Cho tam giác đường phân giác BN và tâm O của đường tròn nội tiếp trong tam giác.
Trường hợp 1: H và O nằm cùng phía với AC
Trường hợp 2: H và O nằm khác phía với AC
Gợi ý: Gọi I là giao điểm của AH và BN. Kẻ AP vuông góc với CO cắt AB tại P. M là giao điểm của OC và AB, K là giao điểm của OC và AP.
Cách giải 1:
Xét △ACP có CK vừa là phân giác vừa là đường cao nên CK cũng là đường trung tuyến, đường trung trực => KA = KP (1)
Xét ABH có BI vừa là phân giác vừa là đường cao nên BI cũng là đường trung tuyến, đường trung trực => IA = IH (2)
Từ (1) và (2) ta có: IK là đường trung bình trong tam giác APH
⇒IKO^=OCH^ ( Hình 1)
Hoặc IKO^+OCH^=180∘ (Hình 2)
Xét tứ giác AKOI có I^=K^=90∘ => AKOI là tứ giác nội tiếp Tứ giác AOHC nội tiếp được => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.
Cách giải 2:
Ta có BN là đường trung trực của AH ⇒BHO^=BAO^ mà BAO^=OAC^ nên BHO^=OAC^ => Tứ giác AOHC nội tiếp được. => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.
Cách giải 3:
△ABI là tam giác vuông nên IBA^+BAI^=180∘ hay IBA^+BAO^+OAI^=180∘ Suy ra: OAI^+B^2+A^2=90∘ => OAI^ bằng (hoặc bù) với góc OCH^⇒Tứ giác AOHC nội tiếp được => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.
Cách giải 4:
* Đối với (Hình 1) ta có AHC^=90∘+B^2Góc ngoài trong tam giác
AOC^=90∘+B^2 (Vì O là tâm của đường tròn nội tiếp)
⇒AHC^=AOC^⇒ Tứ giác AOHC nội tiếp được => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.
* Đối với (Hình 2) Xét trong tam giác IBH ta có AHC^=90∘-B^2
AOC^=90∘+B^2 (Vì O là tâm của đường tròn nội tiếp) ⇒AHC^+AOC^=180∘
Tứ giác AOHC nội tiếp được => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn.
Cách giải 5:
Ta có AON^=A^+B^2 (Góc ngoài ở đỉnh O của tam giác AOB)
⇒AOH^=A^+B^⇒AOH^+ACH^=180∘ (Hình 1)
hoặc OAH^=ACH^=A^+B^ (Hình 2)
=> Tứ giác AOHC nội tiếp được => A; O; H; C cùng nằm trên một đường tròn