Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và O là trọng tâm tam giác. Tập hợp tất cả các điểm M

2/10

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và O là trọng tâm tam giác. Tập hợp tất cả các điểm M là đường tròn tâm O bán kính $\frac{a}{2}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

$\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = \frac{a^{2}}{4}$

$\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = a^{2}$

$\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = 2 a^{2}$

$\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = \frac{a^{2}}{2}$

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vì O là trọng tâm tam giác ABC nên $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ và $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M O}$ .

Ta có:

$\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M O}$

$\Leftrightarrow {(\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C})}^{2} = 9 {\vec{O M}}^{2}$

$\Leftrightarrow {\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2} + 2 (\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A}) = 9 {\vec{M O}}^{2}$

Mặt khác, ta lại có:

${\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2} = {(\vec{M O} + \vec{O A})}^{2} + {(\vec{M O} + \vec{O B})}^{2} + {(\vec{M O} + \vec{O C})}^{2}$

$= {\vec{M O}}^{2} + 2 \vec{M O} . \vec{O A} + {\vec{O A}}^{2} + {\vec{M O}}^{2} + 2 \vec{M O} . \vec{O B} + {\vec{O B}}^{2} + {\vec{M O}}^{2} + 2 \vec{M O} . \vec{O C} + {\vec{O C}}^{2}$

$= 3 {\vec{M O}}^{2} + {\vec{O A}}^{2} + {\vec{O B}}^{2} + {\vec{O C}}^{2} + 2 \vec{M O} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$

$= 3 M O^{2} + a^{2}$

Như vậy, ta được:

$3 M O^{2} + a^{2} + 2 (\vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A}) = 9 M O^{2}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = 3 M O^{2} - \frac{a^{2}}{2}$

Mà M thuộc đường tròn tâm O bán kính $\frac{a}{2}$ nên $M O = \frac{a}{2} \Rightarrow M O^{2} = \frac{a^{2}}{4}$

$\Leftrightarrow \vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A} = \frac{a^{2}}{4}$ .