Cho tam giác đều ABC cạnh a . Xác định tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức 4 MA^2 + MB^2 + MC^2 = 5a^2/ 2 .

Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC\).

Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn điều kiện: \[4\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \].

Khi đó, ta có: \[4\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \]\[ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IN}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IN}  = \overrightarrow 0 \], do đó điểm \(I\) thuộc đoạn \(AN\) sao cho \(IN = 2IA\).

Lại có tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Suy ra: \[IA = \frac{1}{2}AN = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]; \(IN = \frac{2}{3}AN = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) ;

\[IB = IC = \sqrt {I{N^2} + B{N^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\].

Ta lại có: \[4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\]

\[ \Leftrightarrow 4{\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\]

\[ \Leftrightarrow 4{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\]

\[ \Leftrightarrow 6M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {4\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC} } \right) + 4I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\]

\( \Leftrightarrow 6M{I^2} + 4 \cdot {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt {21} }}{6}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt {21} }}{6}} \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{2}\)

\[ \Leftrightarrow MI = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\].

Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \(I\) bán kính \[R = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\].