Cho tam giác đều ABC cạnh a, các đường cao BM, CN. Gọi O là trung điểm của BC. Gọi G là giao điểm của BM và CN. Khi đó:

a) Đúng.

Xét tam giác vuông \[BNC\], có \[NO\] là đường trung tuyến nên \[NO = BO = OC = \frac{1}{2}BC\].

b) Sai.

Xét tam giác vuông \[BMC\], có \[MO\] là đường trung tuyến nên \[MO = OB = OC = \frac{1}{2}BC\].

Từ đây, suy ra \[OM = ON = OB = OC = \frac{{BC}}{2}\] hay bốn điểm \[B,\,\,N,\,\,M,\,\,C\] cùng thuộc đường tròn tâm \[O\], bán kính \[\frac{{BC}}{2}\].

c) Đúng.

Ta có \[\Delta ABC\] đều có \[G\] là trực tâm đồng thời là trọng tâm.

Xét \[\Delta AOB\] vuông tại \[O\] có \[N\] là trung điểm nên:

\[R = ON = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\]; \[OA = \sqrt {AB{}^2 - O{B^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} > \frac{a}{2} = R\].

Do đó, điểm \[A\] nằm ngoài đường tròn \[\left( O \right)\].

d) Đúng.

Ta có: \[G\] là trọng tâm nên \[OG = \frac{1}{3}OA = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} < \frac{a}{2} = R\].

Do đó \[G\] nằm trong đường tròn \[\left( O \right)\].