Cho tam giác DEF nhọn (DE < DF) nội tiếp đường tròn (O; R). Ba đường cao DA, EB, FC cắt nhau tại H. (a) Chứng minh: BFEC là tứ giác nội tiếp

a) \[\Delta BEF\] vuông tại \[B\] nên ba điểm \[B,\,\,E,\,\,F\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \[EF.\]

\[\Delta CEF\] vuông tại \[C\] nên ba điểm \[C,\,\,E,\,\,F\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \[EF.\]

Do đó, bốn điểm \[B,\,\,C,\,\,E,\,\,F\] cùng nằm trên đường tròn đường kính \[EF.\]

Vậy \(BFEC\) là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có \(\widehat {DFI} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(\Delta DFI\) vuông tại \(F\).

Xét \(\Delta DEA\) và \(\Delta DIF\) có:

\(\widehat {DAE} = \widehat {DFI} = 90^\circ \) và \(\widehat {DEA} = \widehat {DIF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DF)\)

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{DE}}{{DI}} = \frac{{DA}}{{DF}}\) nên \(DE.DF = DA.DI\).

c) Do nên \(\widehat {EDA} = \widehat {IDF}\) (hai góc tương ứng).

Do đó \(\widehat {EDA} + \widehat {ADO} = \widehat {IDF} + \widehat {ADO}\) hay \(\widehat {EDO} = \widehat {FDA}\).

Do \(DM\) là tia phân giác của \(\widehat {EDF}\) nên \(\widehat {EDM} = \widehat {FDM}\).

Mà \(\widehat {EDA} = \widehat {IDF}\) nên \(\widehat {ADM} = \widehat {IDM}\).

Lại có, \(\widehat {ADM} + \widehat {AMD} = 90^\circ \) và \(\widehat {QDM} + \widehat {IDM} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {AMD} = \widehat {QDM}\) nên \(\Delta QDM\) cân tại \(Q.\)