a) Sai.

Xét \(\Delta OAP\) có \(Ox\) là đường trung trực của \(PA\) nên \(OA = OP,\,\,IA = IP\).

Xét hai tam giác vuông \(\Delta OAI\) và \(\Delta POI\), có: \(OA = OP,\,\,IA = IP\).

Do đó, \(\Delta OAI = \Delta OPI\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) (hai góc tương ứng)

b) Đúng.

Xét \(\Delta BOP\) có \(Oy\) là đường trung trực của \(PB\) nên \(OB = OP,\,\,EB = EP\).

Xét hai tam giác vuông \(\Delta OBE\) và \(\Delta OPE\) có: \(OB = OP,\,\,EB = EP\).

Suy ra \(\Delta OBE = \Delta OPE\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \(\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\) (hai góc tương ứng).

c) Đúng.

Ta có: \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\), \(\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\) (cmt)

Lại có \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_4}} = \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_2}} = 90^\circ \).

Do đó, \(\widehat {AOB} = \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} + \widehat {{O_4}} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

Vậy ba điểm \(O,\,\,A,\,\,B\) thẳng hàng.

d) Đúng.

Ta có: \(OA = OP,\,\,OB = OP\) (cmt).

Suy ra \(OA = OB\left( { = OP} \right)\).

Do đó, \(O\) nằm trên đường trung trực của \(AB\).

Xét \(\Delta ABP\) có:

\(Ox\) là đường trung trực của \(PA;\)

\(Oy\) là đường trung trực của \(PB;\)

\(O\) nằm trên đường trung trực của \(AB\).

Suy ra \(O\) là giao điểm của ba đường trung trực trong \(\Delta ABP\).

Cho tam giác DEF có I là giao điểm của ba đường trung trực. Khi đó ta có