Cho tam giác cân ABC (AB = AC), phân giác BD và CE. Gọi I là trung điểm của BC, J là trung điểm của ED, O là giao điểm của BD và CE.

 a) Ta có: ABC^=ACB^ (vì tam giác ABC cân tại A)

⇒ DBC^=ECB^

Xét tam giác DBC và tam giác ECB có:

DCB^=EBC^ (vì ABC^=ACB^)

BC là cạnh chung

DBC^=ECB^

⇒ ∆DBC = ∆ECB (g.c.g)

⇒ BE = CD mà AB = AC

Nên ta có: BEAB=CDAC

⇒ ED // BC

b) Từ phần a trên đã có BE = CD

Có: EDB^=DBC^ (so le trong)

mà EBD^=DBC^ (BD là phân giác)

⇒ EBD^=EDB^

⇒ Tam giác BED cân tại E

⇒ BE = ED

⇒ BE = ED = CD.

c) AI cắt ED tại J', ta chứng minh J' ≡ J

Từ tính chất tam giác đồng dạng ta có:

EJ'BI=AEAB=EDBC=ED2BI

⇒ EJ' = ED2 ⇒ J' là trung điểm ED ⇒ J' ≡ J

Vậy A, I, J thẳng hàng

*OI cắt ED tại J" ta chứng minh J" ≡ J

Xét tam giác ODE và tam giác OBC có:

DOE^=BOC^ (đối đỉnh)

EDO^=OBC^ (so le trong, DE // BC)

∆ODE ∽ ∆OBC (g.g)

⇒ ODOB=EDBC

Mặt khác: J''DO^=OBI^ (so le trong), J''OD^=IOB^ (đối đỉnh)

⇒ ∆J"DO ∽ ∆IBO (g.g)

⇒ J"DIB=ODOB=EDBC=ED2BI

⇒ J"D=ED2

⇒ J" là trung điểm ED ⇒ J" ≡ J

Tóm lại A, I, O, J thẳng hàng.