Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AB lấy điểm M (M khác A, M khác B). Từ điểm M vẽ đường thẳng MN vuông góc với BC (N thuộc BC), đường thẳng MN cắt đường thẳng AC tại K.

1) Xét tứ giác AMNC có

CAM^=CAB^=90° (ΔABC vuông tại A,  M∈AB).

CNM^=90° (MN⊥BC).

Suy ra CAM^+CNM^=90°+90°=180°.

Vậy tứ giác AMNC nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180^o ).2)

Xét ANBK có

KAB^=90° (kề bù với góc vuông CAB).

KNB^=MNB^=90° (MN vuông góc BC, K thuộc đường thẳng MN).

Suy ra KAB^=KNB^=90°.

Do đó tứ giác ANBK nội tiếp (hai đỉnh A, N kề nhau cùng nhìn cạnh BK dưới một góc bằng 90^o )

Suy ra ABK^=ANK^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK)                 (1)

Vì tứ giác AMNC nội tiếp (chứng minh câu 5.1)

nên ANM^=ACM^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM).

hay ANK^=ACM^ (K thuộc đường thẳng MN)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra ABK^=ACM^.

3)

Xét ΔBCK có BA là đường cao, KN là đường cao, M là giao điểm của BA và K

Suy ra M là trực tâm của ΔBCK.

Do đó CM⊥BK      (1)

Xét đường tròn đường kính BM có MDB^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra MD⊥BK    (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm C, M, D thẳng hàng. Do đó CD⊥BK.

Diện tích ΔBIC là SBIC=12 . r . BC.

Diện tích ΔBIK là SBIK=12 . r . BK.

Diện tích ΔCIK là SCIK=12 . r . CK.

Diện tích ΔBCK là SBCK=12KN . BC=12BK . CD=12CK . AB.

Suy ra 12BC=SBCKKN;  12BK=SBCKCD;  12CK=SBCKAB.

Mà SBCK=SBIC+SBIK+SCIK

Hay SBCK=r⋅SBCKKN+r⋅SBCKCD+r⋅SBCKAB

Do đó SBCK=r . SBCK1KN+1CD+1AB

Vậy 1r=1KN+1CD+1AB⋅