Cho tam giác ABC và đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BHM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CNH tại E. Chứng minh AMEN là tứ giác nội t

Ta có: MEN = 360° - ( MEH + NEH )

                     = 360° - ( 180° - ABC + 180° - ACB)

                     = ABC + ACB = 180° - BAC

Suy ra MEN + MAN = 180° hay tứ giác AMEN là tứ giác nội tiếp.

Kẻ MK ⊥ BC, giả sử HE cắt MN tại I thì IH là cát tuyến của hai đường tròn (BMH), (CNH).

Lại có MB = MH = MA (tính chất trung tuyến tam giác vuông). Suy ra tam giác MBH cân tại M.

=> KB = KH => MK luôn đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBH.

Hay MN là tiếp tuyến của (MBH) suy ra IM²= IE.IH                (1)

Tương tự ta cũng có MN là tiếp tuyến của (HNC) suy ra IN²= IE.IH.                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra IM = IN.

Vậy HE đi qua trung điểm của MN.