Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O, đường kính BC cắt AB ở M và cắt AC ở N

a) ΔBMC có OM=OB=OC=BC2=R⇒ΔBMC vuông tại M (định lý đảo đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

⇒BM⊥MC(1), Cmtt⇒BN⊥NC(2)

Từ (1) và (2) suy ra BN, CM là hai đường cao của tam giác ABC⇒H là trực tâm ΔABC⇒AK⊥BC.

b) ΔAMH vuông tại M, ME là đường trung tuyến ⇒AE=EM⇒ΔAEM cân ⇒AEM^=EMA^(3) mà EMA^=OCM^ (cùng phụ với góc B) (4)

Và OCM^=OMC^ (tính chất tam giác cân ) (5)

Từ 3,4,5⇒EMA^=OMC^ mà EMA^+EMH^=900

⇒OMC^+EMH^=900⇒EMO^=900,M∈O ⇒EM là tiếp tuyến của (O)

c) Vì sinBAC^=22⇒BAC^=450⇒ΔAMC vuông cân tại M⇒AM=MC

Xét ΔAMH và ΔCMB có: MAH^=MCB^ (cùng phụ góc B); AM = CM

AMH^=BMC^=900⇒ΔAMH=ΔCMB⇒AH=BC