Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A. Gọi M là trung điểm của BC và D là điểm nằm trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA (H.4.49). Chứng minh rằng: Các tam giác AMB, AMC là các tam giác cân tạ

Hướng dẫn giải:

Do tam giác ABC vuông tại A nên AC ⊥ AB tại A.

Tam giác ABD vuông tại B nên DB ⊥ AB tại B.

Suy ra AC // DB (do cùng vuông góc với AB).

\( \Rightarrow \widehat {BDA} = \widehat {CAD}\) (hai góc so le trong).

Lại có: \(\widehat {ACB} = \widehat {BDA}\) (do ∆ABD = ∆BAC).

Do đó, \(\widehat {CAD} = \widehat {ACB}\), hay \(\widehat {CAM} = \widehat {ACM}\).

Suy ra tam giác AMC cân tại đỉnh M.

Khi đó MA = MC.

Mà MB = MC (do M là trung điểm của BC).

Nên MA = MB = MC.

Do đó, tam giác AMB cân tại đỉnh M.