Cho tam giác ABC vuông tại A. Về phía ngoài tam giác, vẽ các hình vuông ABDE, ACFG.

a) Vì ABDE, ACFG là các hình vuông nên ta có E, A, C thẳng hàng và B, A, G cũng thẳng hàng (1) và EC = BG.

Mà EBA^=AGC^= 45⁰ (2).

Từ (1) và (2)

Suy ra EB//CG & EC = BG Þ EBCG là hình thang cân.

b) Chứng minh AEKG là hình chữ nhật, mà M là trung điểm EG nên K, A, M thẳng hàng.

c) Gọi H = MA Ç BC

Vì BEGC là hình thang cân nên DBEG = DEBC (c-g-c) Þ ECB^=EGB^ mà EGA^=MAG^=BAH^ 

Þ BAH^+ABC^=ECB^+ABC^ = 90⁰ Þ MA ^BC tại H.

d) DABK = DBDC vì AB = DB, KA = EG = BC, BAK^=DBC^⇒BKA^=BCD^ mà KA ^ BC Þ CD ^ BK.

Chứng minh tương tự ta cũng có BF ^ KC.

Þ DKBC cosBF, CD, AM là 3 đường cao Þ đồng quy tại trực tâm I