Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn tâm C, bán kính

Chứng minh bốn điểm \[A\,,\,C\,,\,M\,\] và \(B\) cùng thuộc một đường tròn.

Tam giác \[ABC\]vuông tại \(A\) nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow A\) thuộc đường tròn đường kính \[BC\].

\[BM\] là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) nên \(\widehat {BMC} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow M\) thuộc đường tròn đường kính \[BC\].

Kết luận: Bốn điểm \(A,C,M\) và \(B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BC\).

Chứng minh tam giác \[CPN\] là tam giác cân và đường thẳng \[AM\] đi qua trung điểm của đoạn thẳng \[NP\].

* Xét \[\Delta CAN\] và \[\Delta CMP\] có:

\(CA = CM;\widehat {CAN} = \widehat {CMP} = 90^\circ ;\;AN = MP\)

\( \Rightarrow \Delta CAN = \Delta CMP\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow CN = CP\)

Þ Tam giác \[CPN\] cân tại \(C\)

* Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(NP\)

Tam giác \[CPN\] cân tại \(C\) và \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \[NP\] nên \[CI \bot NP\].

Tứ giác \[NACI\] nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {NIA} = \widehat {NCA}\).

Tứ giác \[CIMP\] nội tiếp\( \Rightarrow \widehat {MIP} = \widehat {MCP}\).

\(\Delta CAN = \Delta CMP \Rightarrow \widehat {NCA} = \widehat {MCP}\).

Ta có \(\widehat {NIA} + \widehat {PIA} = 180^\circ \) (vì \(I\) nằm giữa \(N\) và \(P\))

\( \Rightarrow \widehat {MIP} + \widehat {PIA} = 180^\circ \)mà 2 góc này kề nhau

\( \Rightarrow A,\;I,\;M\;\)là 3 điểm thẳng hàng.

Kết luận: Đường thẳng \[AM\] đi qua trung điểm của đoạn thẳng \[NP\].