Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AC kẻ tia Ax. Trên Ax lấy điểm D sao cho AD = AB. Kẻ tia Ay nằm trong BAD. Kẻ DH vuông góc với Ay tại H

a) Xét tam giác ABI, ADH có:

I^=H^=90°

AB = AD

IAB^=90°−HAD^=D^

⇒ ΔABI = ΔDAH (cạnh huyền-góc nhọn)

⇒ AI = DH, BI = AH

Ta có: AI = DH, BI = AH

b) Ta có: AD = AB, AD ⊥ AB

⇒ ΔADB vuông cân tại A

M là trung điểm BD

⇒ ΔABM, ΔAMD vuông cân tại M

⇒ MA = MD = MB

Xét ΔMDH và ΔMAI có:

MD = MA

MDH^=MDA^−HDA^=45°−HDA^=45°−IAB^=MAB^−IAB^=MAI^

DH = AI

⇒ ΔMDH = ΔMAI (c.g.c)

c) Từ câu b, suy ra: MI = MH, IMA^=DMH^

IMH^+HMA^=DMA^+HMA^

⇒ IMH^=AMD^=90°

Suy ra: Tam giác MHI vuông cân tại M.