Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AB lấy điểm M (M khác A, M khác B)

5/5

Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AB lấy điểm M (M khác A, M khác B). Từ điểm M vẽ đường thẳng MN vuông góc với BC (N thuộc BC), đường thẳng MN cắt đường thẳng AC tại K.

1) Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp.

2) Chứng minh \(\widehat {ABK} = \widehat {ACM}.\)

3) Đoạn thẳng BK cắt đường tròn đường kính BM tại điểm D (D khác B). Gọi I là tâm và r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác BKC. Chứng minh \(\frac{1}{r} = \frac{1}{{KN}} + \frac{1}{{CD}} + \frac{1}{{AB}} \cdot \)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AB lấy điểm M (M khác A, M khác B) (ảnh 1)

1.Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp.

Xét tứ giác AMNC có

\(\widehat {CAM} = \widehat {CAB} = {90^o}\)(\(\Delta ABC\) vuông tại A, \[M \in AB\]).

\(\widehat {CNM} = {90^o}\) (MN vuông góc BC).

Suy ra \(\widehat {CAM} + \widehat {CNM} = {90^o} + {90^0} = {180^0}\)

Vậy tứ giác AMNC nội tiếp (tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).

2.Chứng minh \(\widehat {ABK} = \widehat {ACM}.\)

Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AB lấy điểm M (M khác A, M khác B) (ảnh 2)

Xét tứ giác ANBK có

\(\widehat {KAB} = {90^o}\) (kề bù với góc vuông CAB).

\(\widehat {KNB} = \widehat {MNB} = {90^o}\) (MN vuông góc BC, K thuộc đường thẳng MN).

Suy ra \(\widehat {KAB} = \widehat {KNB} = {90^o}.\)

Vậy tứ giác ANBK nội tiếp (hai đỉnh A, N kề nhau cùng nhìn cạnh BK dưới một góc bằng \({90^0}\)).

\( \Rightarrow \widehat {ABK} = \widehat {ANK}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK). (1)

Vì tứ giác AMNC nội tiếp (chứng minh câu 5.1)

nên \(\widehat {ANM} = \widehat {ACM}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM).

hay \(\widehat {ANK} = \widehat {ACM}\)(K thuộc đường thẳng MN). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ABK} = \widehat {ACM}.\)

3.Chứng minh \(\frac{1}{r} = \frac{1}{{KN}} + \frac{1}{{CD}} + \frac{1}{{AB}} \cdot \)

Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AB lấy điểm M (M khác A, M khác B) (ảnh 3)

Xét \(\Delta BCK\)có BA là đường cao, KN là đường cao, M là giao điểm của BA và KN.

Suy ra M là trực tâm của \(\Delta BCK.\)

Do đó \(CM \bot BK.\) (1)

Xét đường tròn đường kính BM có \[\widehat {MDB} = {90^0}\] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra \(MD \bot BK.\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm C, M, D thẳng hàng. Do đó \(CD \bot BK.\)

Diện tích \[\Delta BIC\]là \[{S_{BIC}} = \frac{1}{2}.r.BC\]

Diện tích \[\Delta BIK\]là \[{S_{BIK}} = \frac{1}{2}.r.BK\]

Diện tích \[\Delta CIK\]là \[{S_{CIK}} = \frac{1}{2}.r.CK\]

Diện tích \[\Delta BCK\]là \[{S_{BCK}} = \frac{1}{2}KN.BC = \frac{1}{2}BK.CD = \frac{1}{2}CK.AB\]

Suy ra \[\frac{1}{2}BC = \frac{{{S_{BCK}}}}{{KN}};{\rm{ }}\frac{1}{2}BK = \frac{{{S_{BCK}}}}{{CD}};{\rm{ }}\frac{1}{2}CK = \frac{{{S_{BCK}}}}{{AB}}\]

Mà \[{S_{BCK}} = {S_{BIC}} + {S_{BIK}} + {S_{CIK}}\]

hay \[{S_{BCK}} = r.\frac{{{S_{BCK}}}}{{KN}} + r.\frac{{{S_{BCK}}}}{{CD}} + r.\frac{{{S_{BCK}}}}{{AB}}\]

\[ \Rightarrow {S_{BCK}} = r.{S_{BCK}}\left( {\frac{1}{{KN}} + \frac{1}{{CD}} + \frac{1}{{AB}}} \right)\]

Vậy \(\frac{1}{r} = \frac{1}{{KN}} + \frac{1}{{CD}} + \frac{1}{{AB}} \cdot \)