Cho tam giác ABC vuông tại A. Qua A kẻ đường cao AH (H thuộc BC).

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên BAC^=90o

Theo đề bài, AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ^ BC hay AHC^ = 90°

Do đó BAC^ = AHC^ = 90°.

Xét ∆ABC và ∆HAC có:

 BAC^=AHC^ = 90° (chứng minh trên)

C^ chung

Do đó ∆ABC ∽ ∆HAC (g.g)

b) Áp dụng định lý Py-ta-go vào ∆ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 100

Suy ra BC = 10 cm.

Tam giác ABC có AH là đường cao tương ứng với cạnh đáy BC nên:

S_ABC = 12.AH. BC (1)

Mặt khác, tam giác ABC vuông tại A nên:

S_ABC = 12.AB.AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra S_ABC = 12.AB.AC = 12.AH. BC

Do đó AH = AB.ACBC = 6.810= 4,8 (cm).

Vậy BC = 10 cm; AH = 4,8 cm.

c) Ta có: AHE^ + EHC^ = 90° và EHC^ + ECH^= 90°

Suy ra AHE^ = ECH^

Xét ∆AEH và ∆CHE có:

 AHE^=ECH^ (chứng minh trên)

AEH^=HAC^ = 90° (HE ^ AC tại E)

Do đó ∆AEH ∽ ∆CHE (g.g)

Suy ra AEHE=HECE (các cạnh tương ứng)

Do đó HE² = AE. EC (đpcm) (1)

d) Ta có: AB ⊥ AC (vì ∆ABC vuông tại A) và HE ⊥ AC (giả thiết)

Suy ra AB // HE.

Do đó BAI^ = IHE^ (hai góc so le trong)

Xét ∆AIF và ∆EIH có:

BAI^ = IHE^ (chứng minh trên)

IA = IH (giả thiết)

FIA^ = HIE^ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆AIF = ∆EIH (g.c.g)

Suy ra AF = HE (hai cạnh tương ứng)

Mà AF // HE (vì HE // AB)

Do đó AEHF là hình bình hành.

Mặt khác, FAE^ = 90°

Do đó AEHF là hình chữ nhật

Suy ra AFH^= 90°.

Do đó AFH^ = EHF^ = 90°.

Mặt khác, ABCD là hình chữ nhật nên hai đường chéo AH và EF bằng nhau; AH cắt EF tại trung điểm I.

Suy ra IH = IF nên ∆HIF cân tại I.

Do đó IHF^=IFH^.

Xét ∆AFH và ∆EHF có:

IHF^=IFH^ (chứng minh trên)

AFH^ = EHF^= 90° (chứng minh trên)

Do đó ∆AFH ∽ ∆EHF (g.g).

Suy ra FAHF=HFFB (các cặp cạnh tương ứng)

Nên FA . FB = HF² (2)

Từ (1) và (2) suy ra AF. FB + AE. EC = HF² + HE²

Xét ∆FHE vuông góc tại H có:

HF² + HE² = EF² = AH² (vì EF = AH)

Do đó AH² = FA. FB + EA. EC (đpcm).