Cho tam giác ΔABC vuông tại A. Lấy điểm M bất kì trên đoạn AC, đường tròn đường kính CM cắt hai đường thẳng BM và BC lần lượt tại D và N. Chứng minh rằng: (a) Tứ giác ABCD nội tiếp. (b) Các đ

56/57

Cho tam giác $\Delta ABC$ vuông tại $A$. Lấy điểm $M$ bất kì trên đoạn $AC$, đường tròn đường kính $CM$ cắt hai đường thẳng $BM$ và $BC$ lần lượt tại $D$ và $N$. Chứng minh rằng:

(a) Tứ giác $ABCD$ nội tiếp.

(b) Các đường thẳng \[AB,\,\,\,MN,\,\,\,CD\] cùng đi qua một điểm.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho tam giác $\Delta ABC$ vuông tại $A$. Lấy điểm $M$ bất kì trên đoạn $AC$, đường tròn đường kính $CM$ cắt hai đường thẳng $BM$ và $BC$ lần lượt tại $D$ và $N$. Chứng minh rằng: (ảnh 1)$

a) Gọi $O$ là tâm đường tròn đường kính $CM$.

Ta có $DO = MO = CO$ hay $DO = \frac{{MC}}{2}$.

Xét tứ giác $ABCD$ có $\widehat {BAM} = \widehat {BDC} = 90^\circ $ nên bốn điểm $A,\,B,\,C,\,D$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $BC$ hay tứ giác $ABCD$ nội tiếp.

b) Gọi giao điểm của hai đường thẳng $AB$ và $CD$ là $I$.

Vì $M$ là trực tâm của $\Delta BIC$ nên $IM$ là đường cao thứ ba, suy ra $IM \bot BC$.

Do đó $IM$ và $IN$ phải trùng nhau hay ba điểm $I,\,\,M,\,\,N$ thẳng hàng.

Vậy các đường thẳng \[AB,\,\,\,MN,\,\,\,CD\] cùng đi qua một điểm $I$.