Cho tam giác ABC vuông tại A . Kẻ đường cao AH và phân giác trong AD của góc ˆ HAC . Phân giác trong góc ˆ ABC cắt AH , AD lần lượt tại M , N . Chứng minh rằng: ˆ BND = 90 độ .

Phân tích:Ta có \(\widehat {MHD} = {90^0}\). Nếu \(\widehat {MND} = {90^0}\) thì tứ giác \(MHDN\) nội tiếp. Vì vậy thay vì trực tiếp chỉ ra góc \(\widehat {BND} = {90^0}\) ta sẽ đi chứng minh tứ giác \(MHDN\) nội tiếp. Tức là ta chứng minh \(\widehat {AMN} = \widehat {ADH}\).  

Thật vậy ta có \(\widehat {AMN} = \widehat {BMH} = {90^0} - \widehat {MBH}\), \(\widehat {NDH} = {90^0} - \widehat {HAD}\) mà \(\widehat {MBH} = \frac{1}{2}\widehat {ABC},\widehat {HAD} = \frac{1}{2}\widehat {HAC}\)và \(\widehat {ABC} = \widehat {HAC}\) do cùng phụ với góc \(\widehat {BCA}\) từ đó suy ra \(\widehat {AMN} = \widehat {ADH}\) hay tứ  giác \(MHDN\) nội tiếp\( \Rightarrow \widehat {MND} = \widehat {MHD} = {90^0}\)