Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH và phân giác trong AD của góc HAC. Phân giác trong của góc ABC cắt AH, AD lần lượt tại M,N

Ta có: \[\widehat {MBH} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\], \[\widehat {HAD} = \frac{1}{2}\widehat {HAC}\] và \[\widehat {HAC} = \widehat {ABC}\] (cùng phụ với \[\widehat {ACB}\]).

Suy ra \[\widehat {MBH} = \widehat {HAD}\] và \[\widehat {BHM} = 90^\circ = \widehat {MBH} + \widehat {BMH} = \widehat {AMN} + \widehat {HAD}\] suy ra \[\widehat {ANM} = 90^\circ \] hay \[\widehat {MND} = 90^\circ \].

Xét tam giác \[MHD\] vuông tại \[H\] và \[M,H,D\] thuộc đường tròn đường kính \[MD\].

Xét tam giác \[MND\] vuông tại \[N\] và \[M,N,D\] thuộc đường tròn đường kính \[MD\].

Suy ra bốn điểm \[M,N,D,H\] cùng thuộc một đường tròn đường kính \[MD\] hay \[MHDN\] là tứ giác nội tiếp.