Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là một giao điểm bất kì trong tam giác. Vẽ OD vuông AB, OE vuông CA và OF vuông CA.

Vẽ AH⊥BC,OK⊥AH..

Tứ giác ADOF và KOEH là hình chữ nhật nên OF = AD và OE = KH.

Xét ΔAOD vuông tại O, ta có

OD2+AD2=OA2≥AK2.

Do đó OD2+OF2+OE2=OD2+AD2+OE2≥AK2+KH2

≥AK+KH22=AH22  (không đổi)

Dấu ''='' xảy ra <=> O nằm giữa A và H và AK = KH <=> O là trung điểm của AH

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng S là AH22 khi O  là trung điểm của AH.