Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn tâm O đường kính AB cắt các đoạn BC và OC lần lượt tại D và I

a) Ta có: \[\widehat {ADB} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chẵn nửa đường tròn) \[ \Rightarrow \widehat {ADC} = 90^\circ \]

\[ \Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {AHC}\]\[ \Rightarrow ACDH\] nội tiếp.

\[ \Rightarrow \widehat {CHD} = \widehat {CAD}\]

Mà \[\widehat {CAD} = \widehat {ABC}\] nên \[\widehat {CHD} = \widehat {ABC}\].

b) Ta có: \[OH.OC = O{A^2} = O{B^2} \Rightarrow \frac{{OH}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OC}}\]

.

\[ \Rightarrow \widehat {OHB} = \widehat {OBC} \Rightarrow \widehat {OHB} = \widehat {CHD}\]

\[ \Rightarrow \widehat {BHM} = \widehat {DHM}\] hay \[HM\] là tia phân giác của góc \[BHD\].

c) Tam giác \[DHB\] có \[HM\] là phân giác trong \[ \Rightarrow \frac{{MD}}{{MB}} = \frac{{HD}}{{HB}}\]

Tam giác \[DHB\] có \[HC\] là phân giác ngoài \[ \Rightarrow \frac{{CD}}{{CB}} = \frac{{HD}}{{HB}}\]

Vậy \[\frac{{MD}}{{MB}} = \frac{{CD}}{{CB}} \Rightarrow MD.BC = MB.CD\].

Cách 1. Từ trên suy ra \[MD.\left( {MB + MC} \right) = MB.\left( {MC - MD} \right)\]

\[ \Rightarrow 2MB.MD = MC\left( {MB - MD} \right)\]

\[ \Rightarrow 2MB.MD = 2MK.MC\]

\[ \Rightarrow MB.MD = MK.MC\]

Cách 2. Gọi \[L\] là giao điểm của \[AE\] với đường tròn \[\left( O \right)\].

5 điểm \[A,\,O,\,K,\,L,\,C\] cùng thuộc đường tròn.

\[ \Rightarrow MK.MC = MA.ML\]

Mà \[MA.ML = MB.MD\]\[ \Rightarrow MB.MD = MK.MC\].

d) Gọi \[N\] là giao điểm của \[CO\,\]với đường tròn \[\left( O \right)\].

\[ \Rightarrow \widehat {IJN} = 90^\circ \,\,\left( 1 \right)\]

Mặt khác: \[MI.MJ = MD.MB = MK.MC\]

\[ \Rightarrow \widehat {MCI} = \widehat {MJK} = \widehat {MEO}\]

\[ \Rightarrow MEJK\] nội tiếp.

\[ \Rightarrow \widehat {EJM} = 90^\circ \,\,\,\,\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow E,\,\,J,\,\,N\] thẳng hàng.

Suy ra hai đường thẳng \[OC\] và \[EJ\] cắt nhau tại một điểm nằm trên \[\,\left( O \right)\].