Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AM. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M trên

Xét ΔAMB vuông tại M có MH là đường cao nên:

HA.HB = HM²     (1) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét ΔAMC vuông tại M có MK là đường cao nên:

KA.KC = KM²    (2)(hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Tứ giác AHMK có:

\[\widehat {AHM}\, = \widehat {MKA} = \widehat {HAK} = 90^\circ \]

Suy ra AHMK là hình chữ nhật

Do đó AH = KM

Từ (1) và (2) ta có:

HA.HB + KA.KC = HM² + KM²

HA.HB + KA.KC = HM² + AH²

HA.HB + KA.KC = AM² (áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông AHM)

HA.HB + KA.KC = 4² = 16

Vậy HA.HB + KA.KC = 16.