Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH kẻ HE, HF lần lượt

Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông ABC, AHB, AHC ta có:

AB.AC = BC.AH ⇒ \(BC = \frac{{AB.AC}}{{AH}}\)

* BH² = AB.BE

AB² = BH.BC ⇒ AB⁴ = BH² . BC² = AB.BE.BC²

* CH² = AC.CF

AC² = CH.BC ⇒ AC⁴ = CH² . BC² = AC.CF.BC²

Xét: \(\frac{{A{B^4}}}{{A{C^4}}} = \frac{{AB.BE.B{C^2}}}{{AC.CF.B{C^2}}} = \frac{{AB.BE}}{{AC.CF}}\)

Suy ra: \(\frac{{EB}}{{FC}} = {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^3}\)

Lại có: BH² = AB.BE ⇒ BE = \(\frac{{B{H^2}}}{{AB}}\)

CH² = AC.CF ⇒ CF = \(\frac{{C{H^2}}}{{AC}}\)

Khi đó: \(BE.CF = \frac{{B{H^2}}}{{AB}}.\frac{{C{H^2}}}{{AC}} = \frac{{A{H^4}}}{{AB.AC}}\)(Vì AH² = BH.CH)

Vậy BC.BE.CF = \(\frac{{AB.AC}}{{AH}}.\frac{{A{H^4}}}{{AB.AC}} = A{H^3}\).2