Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua

a) Vì D là điểm đối xứng với H qua AB nên AB là đường trung trực của DH suy ra AH = AD (1)

Vì E đối xứng với H qua AC nên AC là đường trung trực của HE suy ra AH = AE (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD = AE (3)

Mặt khác \(\widehat {DAB} = \widehat {BAH}\); \(\widehat {HAC} = \widehat {CAE}\)

 Và \(\widehat {BAH} + \widehat {HAC} = 90^\circ \)

Do đó \(\widehat {DAB} + \widehat {BAH} + \widehat {HAC} + \widehat {CAE} = 180^\circ \)

Tức là D, A, E thẳng hành (4)

Từ (3) và (4) suy ra D và E đối xứng với nhau qua A.

b) ∆DHE có HA là trung điểm và \(HA = \frac{1}{2}DE\) nên ∆DHE vuông tại H.

c) Xét ∆ADB và ∆AHB có:

AD = AH

AB chung

DB = BH (D đối xứng với H qua AB)

Do đó ∆ADB = ∆AHB (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {ADB} = \widehat {AHB} = 90^\circ \)

Tương tự ta có: ∆AHC = ∆AEC

Do đó\(\widehat {AEC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

Suy ra BD//CE (cùng vuông góc với DE)

Nên tứ giác BAEC là hình thang có hai góc vuông kề cạnh bên DE nên BAEC là hình thang vuông.