Cho tam giác ABC vuông tại A điểm M thuộc cạnh BC từ M vẽ các đường thẳng vuông góc với AB ở D vuông góc với AC ở E

a) Xét tứ giác ADME có DAE^ = ADM^ = AEM^ = 90o

⇒ADME là hình chữ nhật

⇒AM= DE

b) Gọi O là giao điểm của AM và DE ⇒ OA = OM = OD = OE (2)

Do ADME là hình chữ nhật ⇒DA = ME

⇒ 2DA = 2ME hay DA + AI = EM + MK (vì DA = AI; ME = MK)

⇒ DI = EK

Xét tứ giác DIEK có DI = EK (cmt)

     DI // EK (vì CEDM là HCN)

⇒ DKEI là hình bình hành

Do O là trung điểm của DE ⇒ KI đi qua O

⇒ DE cắt IK tại O và OD = OE;  OK = OI (1) 

Từ (1) và (2) ⇒ DE; AM; IK đồng quy tại trung điểm O của mỗi đường

c) Xét AHM vuông tại H có O là trung điểm của AM, khi đó HO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AM. Suy ra HO = 12 . AM

Mặt khác, AM = DE.

⇒HO = 12 . DE 

Xét DHO có đường trung tuyến HO = 12 . DE

⇒ DHE vuông tại H ⇒DHE^ = 90o