Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M bất kì nằm trong tam giác có hình chiếu

10/10

Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M bất kì nằm trong tam giác có hình chiếu xuống BC, CA, AB theo thứ tự là D, E, F. Tìm tập hợp điểm M biết $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F}$ cùng phương với $\vec{B C}$ .

M thuộc đoạn PQ với P và Q lần lượt là trung điểm của AB và AC;

M thuộc đoạn FQ với Q là trung điểm của AC;

M thuộc đoạn AD;

M thuộc đoạn ME.

Giải thích

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M bất kì nằm trong tam giác có hình chiếu (ảnh 1)

Xét tứ giác AEMF có: $\hat{E A F} = \hat{A E M} = \hat{M F A} = 90 °$ .

Do đó, AEMF là hình chữ nhật.

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: $\vec{M E} + \vec{M F} = \vec{M A}$ .

Do đó ta có: $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \vec{M D} + \vec{M A}$ .

Gọi I là trung điểm của AD.

Khi đó, $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \vec{M D} + \vec{M A} = 2 \vec{M I}$ .

Để $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F}$ cùng phương với $\vec{B C}$ thì $\vec{M I}$ cùng phương với $\vec{B C}$

Do đó, $\vec{M I}$ cùng phương với $\vec{P Q}$ (do PQ là đường trung bình của tam giác ABC song song với cạnh BC).

Vì M nằm trong tam giác ABC.

Do đó M thuộc đoạn PQ.