Cho tam giác ABC vuông tại A có G là trọng tâm,BM là đường phân giác. Biết rằng GM vuông AC . Chứng minh rằng

(Không dùng tính chất đường phân giác). Gọi I là giao điểm của BM và AD,H là trung điểm AC⇒DH // AB và DH=12AB (vì DH là đường trung bình ΔABC).

Lại có  GM // AB (cùng vuông góc với AC)

⇒GM // DH . Áp dụng hệ quả định lý ta-lét:

Xét ΔADH có ⇒GM // DH

⇒GMDH=AGAD=23⇒GMDH=23.

Xét ΔABI có GM // AB⇒GIAI=GMAB=GHBH=13

⇒GI+AIAI=A+33⇒AI=34.AG=34.23.AD⇒AI=AD2

 ⇒I là trung điểm của AD.

ΔABD có BI vừa là đường phân giác, vừa là đường trung tuyến, suy ra ΔABD cân tại B nên BI vừa là đường cao vừa là đường phân giác. Do đó BM⊥AD.

Cách 2.

ΔADH có GM // DH⇒AMAH=AGAD=23⇒3.AM=2.AH=AC=AM+MC 

hay MC=2.AM.

Áp dụng tính chất đường phân giác trong ΔABC , ta có:

BCAB=MCMA=2⇒AB=BC2=BD.

Vậy ΔABD cân tại B  nên BI vừa là phân giác vừa là đường cao.

Do đó BM⊥AD