Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Kẻ HE, HF vuông góc với AB, AC

HF // AB \( \Rightarrow \frac{{HF}}{{AB}} = \frac{{CF}}{{CA}} \Rightarrow \frac{{HF}}{{CF}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{HF}}{{CF}}.\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}} \Rightarrow \frac{{HF}}{{CF}}.\frac{{BH.BC}}{{CH.BC}} = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}\)(1)

Ta có: HF // AB \( \Rightarrow \widehat {CHF} = \widehat {CBA}\)

Xét ∆BEH và ∆HFC: Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\widehat {BEH} = \widehat {HFC} = 90^\circ }\\{\widehat {CHF} = \widehat {CBA}}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \Delta BEH \sim \Delta HFC(g.g) \Rightarrow \frac{{BE}}{{BH}} = \frac{{HF}}{{HC}} \Rightarrow BE.HC = HF.BH \Rightarrow BE = \frac{{HF.BH}}{{HC}}\)(2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \frac{{BE}}{{CF}} = \frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}}\).