Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Hình chiếu của H trên AB, AC lần lượt là D, E

a) Xét ∆BDH vuông tại D có đường trung tuyến DO ứng với cạnh huyền BH nên DO=BH2.

Mà O là tâm đường tròn đường kính BH nên điểm D thuộc đường tròn (O).

Tương tự, ta chứng minh được O'E=12HC nên điểm E thuộc đường tròn (O’).

b) Do OO’=OH+O’H nên hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại H.

c) Do AH vuông góc với OO’ tại H nên:

⦁ AH ⊥ HB tại H thuộc (O) nên AH là tiếp tuyến của đường tròn (O);

⦁ AH ⊥ HC tại H thuộc (O’) nên AH là tiếp tuyến của đường tròn (O’).

Vậy AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’).

d) Xét tứ giác ADHE có DAE^=ADH^=AEH^=90° nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật. Suy ra AH=DE.

e) Do ADHE là hình chữ nhật nên hai đường chéo AH, DE bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường. Do đó  IA=IH=12AH=12DE=ID=IE.

Xét ∆ODIvà∆OHI có: ID = IH; OD = OH; OI là cạnh chung.

Do ∆ODI=∆OHI (c.c.c) nên ODI^=OHI^=90° hay OD ⊥DE.

Tương tự, ta chứng minh được O’E ⊥DE.

Suy ra OD // O’E nên tứ giác DEO’O là hình thang có DE là đường cao.

Diện tích hình thang DEO’O là S1=DEOD+O'E2.

Diện tích tam giác ABC là: S2=AH⋅BC2.

Mà DE=AH và BC=BH+CH= 2OD + 2O’E =2(OD + O’E).

Suy ra S1S2=DEOD+O'E2AH⋅BC2=DEOD+O'EAH⋅BC=DEOD+O'EDE⋅2OD+O'E=12.

Do đóS1=12S2.

Vậy diện tích tứ giác DEO’O bằng nửa diện tích tam giác ABC.