Cho tam giác ABC vuông tại A có AB ngắn hơn AC là 2cm. a) Biểu diễn độ dài cạnh huyền BC

Gọi AB = x (cm) (x > 0)

Vì AB ngắn hơn AC là 2cm nên AC = x + 2 (cm).

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, có:

BC² = AB² + AC² (định lí Py – ta – go)

⇔ BC² = x² + (x + 2)²

⇔ BC² = x² + x² + 4x + 4

⇔ BC² = 2x² + 4x + 4

⇔ BC = \(\sqrt {2{x^2} + 4x + 4} \) (cm)

Vậy BC = \(\sqrt {2{x^2} + 4x + 4} \) (cm).

b) Chu vi của tam giác ABC là:

AB + AC + BC = x + x + 2 + \(\sqrt {2{x^2} + 4x + 4} \) = 2x + 2 + \(\sqrt {2{x^2} + 4x + 4} \) (cm).

Mà chu vi của tam giác ABC là 24cm nên ta có phương trình:

2x + 2 + \(\sqrt {2{x^2} + 4x + 4} \) = 24

⇔ \(\sqrt {2{x^2} + 4x + 4} \) = 22 – 2x

⇒ 2x² + 4x + 4 = 484 – 88x + 4x²

⇒ 2x² – 92x + 480 = 0

⇒ x² – 46x + 240 = 0

⇒ x = 40 và x = 6.

Thay lần lượt hai nghiệm vào phương trình đã cho ta thấy x = 6 thỏa mãn.

Với x = 6 thì AB = 6 cm, AC = 6 + 2 = 8 cm, BC = \(\sqrt {{{2.6}^2} + 4.6 + 4} = 10\) cm.

Vậy độ dài các cạnh của tam giác ABC lần lượt là AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10 cm.