Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường phân giác BD. Vẽ DE vuông góc với BC tại E.

a) Gọi K là giao điểm của BD và AE.

Xét DBAD và DBED có:

BAD^=BED^(=90°),

BD là cạnh chung,

ABD^=EBD^ (do BD là tia phân giác của góc ABC)

Do đó ∆BAD = ∆BED (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra BA = BE (hai cạnh tương ứng).

Xét DABK và DEBK có:

BA = BE (chứng minh trên),

ABK^=EBK^ (do BD là tia phân giác của góc ABC),

BK là cạnh chung

Do đó DABK = DEBK (c.g.c)

Suy ra BKA^=BKE^  (hai góc tương ứng).

Mà BKA^+BKE^=180°   (hai góc kề bù)

Nên BKA^=BKE^=180°2=90°

Hay BK ⊥ AE.

Do BK là đường cao của tam giác BAE và B, K, D thẳng hàng nên trực tâm H của tam giác BAE nằm trên đường thẳng BD.

Vậy trực tâm H của tam giác BAE nằm trên đường thẳng BD.