Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 9 cm, AC = 12 cm. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp, G là trọng tâm của tam giác và M là trung điểm của BC. Gọi D, E, F là các tiếp điểm của đường tròn (I
15/20
Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], có \[AB = 9\,\,{\rm{cm}}{\rm{, }}AC = 12\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\] Gọi \[I\] là tâm đường tròn nội tiếp, \[G\] là trọng tâm của tam giác và \[M\] là trung điểm của \[BC\]. Gọi \[D,\,E,\,F\] là tiếp điểm của đường tròn \[\left( I \right)\] với \[AB,\,\,BC\] và \[AC\]; \[N\] là giao điểm của \[BI\], \[AC\]
Khi đó:
\[BC = 15\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\]
\[BD = 3DI\].
\[AN = 4,5\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\]
\[IG = 1\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\]
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng.
Áp dụng định lí Pythagore vào \[\Delta ABC\], ta có: \[BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{9^2} + {{12}^2}} = 15\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].
b) Sai.
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \[AD = AF;\,\,BD = BE;\,\,CE = CF\].
Do đó, ta có: \[2AD + 2BE + 2CE = AB + BC + CA = 9 + 12 + 15 = 36\] (cm).
Suy ra \[2AD + 2BC = 36\], suy ra \[AD = 3\,\,{\rm{cm}}{\rm{,}}\]\[BD = 6\,\,{\rm{cm}}\] và \[DI = 3\,\,{\rm{cm}}\].
Do đó, \[BD = 2DI\].
c) Đúng.
Xét \[\Delta ABN\] và \[\Delta IBD\] có \[\widehat B\] chung và \[\widehat {BDI} = \widehat {BAN} = 90^\circ \].
Do đó, (g.g)
Suy ra \[\frac{{BI}}{{BN}} = \frac{{DB}}{{AB}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} = \frac{{BG}}{{BM}}\]
Do đó, theo định lí Thales đảo suy ra \[IG\parallel NM\] và \[IG = \frac{2}{3}MN\].
Có \[IDAF\] là hình vuông nên \[DI\parallel FA\].
Theo định lí Thales, có \[\frac{{DI}}{{AN}} = \frac{{DB}}{{AB}} = \frac{2}{3}\], do đó \[AN = 3:\frac{2}{3} = \frac{9}{2} = 4,5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].
d) Đúng.
Vì \[M\] là trung điểm của \[BC\] nên \[NM = AM - AN = 6 - 4,5 = 1,5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].
Suy ra \[IG = 1\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].