Cho tam giác ABC vuông tại A . Chứng minh rằng tan ˆ ABC /2 = AC/(AB + BC)

Vẽ đường phân giác BD của \(\Delta ABC\) (D \[ \in \] AC).

Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có: O10-2024-GV154 \[\frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}}\] hay \[\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}}\]

\[ \Rightarrow \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AD + DC}}{{AB + BC}} \Rightarrow \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}\].

Xét \(\Delta ABD\) có \[\widehat {BAD} = 90^\circ \] \[ \Rightarrow \tan \widehat {ABD} = \frac{{AD}}{{AB}}\]

\[\tan \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}\]

Vậy \[\tan \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{AC}}{{AB + BC}}\]