Cho tam giác ABC vuông tại A. Các đường tròn ( O ) đường kính AB

4/5

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\). Các đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính\(AB\), và \((I)\) đường kính \(AC\) cắt nhau tại điểm thứ hai là \(H\left( {H \ne A} \right)\). Đường thẳng \(\left( d \right)\) thay đổi đi qua \(A\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\)tại \(M\) và cắt đường tròn \(\left( I \right)\) tại \(N\) (\(A\) nằm giữa hai điểm \(M\) và \(N\)).

a) Đoạn thẳng OI lần lượt cắt các đường tròn \((O)\), \(\left( I \right)\) lần lượt tại\(D,E\). Chứng minh OI là đường trung trực của đoạn thẳng \(AH\) và \(AB + AC - BC = 2DE\).

b) Chứng minh giao điểm S của hai đường thẳng OM và IN di chuyển trên một đường tròn cố định khi đường thẳng (d) quay quanh A.

c) Giả sử đường thẳng \(MH\) cắt đường trong \(\left( I \right)\) tại điểm thứ hai là \(T{\rm{ }}(T \ne H)\). Chứng minh rằng ba điểm \(N,I,T\) thẳng hàng và ba đường thẳng \(MS,AT,NH\) đồng quy.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho tam giác ABC vuông tại A. Các đường tròn ( O ) đường kính AB (ảnh 1)

a)Ta có:

\(OA = OH\)(cùng là bán kính của \(\left( O \right)\))

\(IA = IH\)(cùng là bán kính của \(\left( I \right)\))

Suy ra \(OI\)là đường trung trực của đoạn thẳng \(AH\).

Ta có:

\(OD = OA = OB = \frac{1}{2}AB \Rightarrow O\) là trung điểm \(AB\).

\(IE = IA = IC = \frac{1}{2}AC \Rightarrow I\)là trung điểm \(AC\).

Xét ta có:

\(O\) là trung điểm \(AB\)

\(I\) là trung điểm \(AC\)

Suy ra \(OI\)là đường trung bình của

\( \Rightarrow OI = \frac{1}{2}BC\).

\(\begin{array}{l}DE = OD + IE - OI = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}AC - \frac{1}{2}BC\\ \Leftrightarrow 2DE = AB + AC - BC\end{array}\)

b)Ta có: \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(\widehat {BHC} = \widehat {AHB} + \widehat {AHC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Suy ra \(B,H,C\)thẳng hàng.

Lại có \(\widehat {AHB} = 90^\circ \Rightarrow AH \bot BC\).

vuông tại \(A \Rightarrow \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \)

\(\widehat {NMH} = \widehat {ABC}\) (cùng chắn cung \[AH\])

\(\widehat {MNH} = \widehat {ACB}\) (cùng chắn cung \[AH\])

Suy ra \(\widehat {MNH} + \widehat {NMH} = \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \)

vuông tại \(H \Rightarrow \widehat {MHN} = 90^\circ \).

\(\widehat {SNM} = \widehat {IAN} = \widehat {NHC}\)

\(\widehat {SMN} = \widehat {OAM} = \widehat {BHM}\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}\widehat {SMN} + \widehat {SNM} = \widehat {CHN} + \widehat {BHM} = 180^\circ - \widehat {MHN}\\ = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \end{array}\)

vuông tại \(S \Rightarrow \widehat {MSN} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ISO} = 90^\circ \)

Suy ra \(S\)thuộc đường tròn đường kính \(OI\).

Mà \(O\)và \(I\)cố định nên đường tròn đường kính \(OI\)cố định.

Vậy \(S\)di chuyển trên đường tròn đường kính \(OI\)cố định khi đường thẳng \(\left( d \right)\)quay quanh \(A\).
c)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Các đường tròn ( O ) đường kính AB (ảnh 2)

Ta có \(\widehat {MHN} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {THN} = 90^\circ \Rightarrow TN\)là đường kính của \(\left( I \right)\)

\( \Rightarrow N,I,T\)thẳng hàng.

\(NT\) là đường kính của \(\left( I \right) \Rightarrow \widehat {NAT} = 90^\circ \Rightarrow TA \bot NM\)

\(\begin{array}{l}\widehat {THN} = 90^\circ \Rightarrow NH \bot MT\\\widehat {MSN} = 90^\circ \Rightarrow MS \bot NT\end{array}\)

Xét ta có \(MS,NH,AT\)là ba đường cao.

Do đó \(MS,NH,AT\)đồng quy.