Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, AB = 8 cm, BC = 16 cm. Dọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD cắt AC ở E. Tính độ dài đoạn thẳng HE.

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC vuông tại A, có: cosB = \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{1}{2}\) suy ra \(\widehat B = 60^\circ \).

Xét tam giác ABD có AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên tam giác ABD cân tại A, có \(\widehat B = 60^\circ \) suy ra ∆ABD đều.

Ta có: OD = OE suy ra ∆ODE cân tại O.

Có AB ∕∕DE suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {EDC} = 60^\circ \) suy ra ∆ODE đều.

Do đó DE = DH = DO = \(\frac{{BC}}{4}\) suy ra \(\widehat {HEO} = 90^\circ \).

Suy ra HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

Xét tam giác HEO vuông tại E, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

HO² = HE² + EO² suy ra HE² = 8² – 4² = 12. Suy ra HE = \(2\sqrt 3 \) cm.