Cho tam giác ABC, vuông tại A (AB < AC). Vẽ đường cao AH (H thuộc BC). Lấy điểm D sao cho

a) Xét ∆ABC và ∆HBA có:

BAC^=BHA^=90o(gt)

ABC^ chung (gt)

Do đó ∆ABC ∽ ∆HBA (g.g);

b) Xét ∆ADH và ∆CDE có:

AHD^=CED^= 90^o (gt)

ADH^=CDE^ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆ADH ∽ ∆CDE (g.g).

Suy ra AHCE=ADCD (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

Vậy: AH.CD = CE.AD (đccm)

c) Ta có: ∆ADH ∽ ∆CDE (câu b)

Suy ra  DHDE=DADC (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

Xét ∆HDE và ∆ADC có:

DHDE=DADC (cmt)

HDE^=ADC^ (hai góc đối đỉnh)

Suy ra ∆HDE ∽ ∆ADC (c.g.c)

Suy ra HDHE=ADAC (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

Do đó HD.AC = AD.HE

Mặc khác H là trung điểm của BD (gt) ⇒HD=BD2;

Suy ra: HD.AC = BD2.AC = AD.HE

Vậy BD.AC = 2AD.HE.

d) Vì AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến của BD nên AH là trung trực của BD.

Suy ra ∆ADB cân tại A và AH là phân giác của BAD^ hay BAH^=HAD^.

Từ câu a: ∆ABC ∽ ∆HBA suy ra BAH^=BCA^ (hai góc tương ứng);

Từ câu b: ∆ADH ∽ ∆CDE suy ra HAD^=ECD^ (hai góc tương ứng).

Do đó ACH^=HCF^ hay CH là phân giác của ACF^.

Mặc khác HC vừa là đường cao của ∆ACF nên HC là trung trực của AF.

Hay BC là đường trung trực của đoạn thẳng AF.

Do đó BA = BF.

Suy ra ∆ABF cân tại B có BAH^=BFH^.

Xét ∆BHF và ∆FEA có:

BFH^=FAE^=BAH^ (cmt)

BHF^=FEA^= 90^o (gt)

Suy ra ∆BHF ∽ ∆FEA (g.g)

Suy ra BFHF=FAEA=AFAE (các cạnh tương ứng tỉ lệ).

Do đó BF.AE = HF.AF.

Vì H là trung trực AF nên HF=AF2.

Suy ra BF.AE=AF2.AF

Do đó AF² = 2BF.AE (đpcm).