Cho tam giác ABC vuông tại A, ( AB < AC) có đường cao AH. a) Tính AH, biết BH = 9cm; BC = 25cm

Ta có \(BA = BH + HC\)

Suy ra \(HC = BC - BH = 25 - 9 = 16\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Xét \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\), ta có \(\tan B = \frac{{AH}}{{HB}}.\)

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\), ta có \(\cot C = \frac{{HC}}{{AC}}.\)

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \[\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ .\]

Suy ra \(\tan B = \cot C\) nên \(\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{CH}}{{AH}}.\)

Do đó \(A{H^2} = BH \cdot CH = 9 \cdot 16 = 144\) nên \(AH = 12\,\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

b) Xét \(\Delta AHM\) vuông tại \(M\), ta có \(\cos \widehat {MAH} = \frac{{AM}}{{AH}}.\)

Xét \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\), ta có \(\cos \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{AB}}.\)

Do đó \(\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) suy ra \(A{H^2} = AM \cdot AB\).

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\), ta có \(AH = AC \cdot \cos \widehat {HAC}.\)

Do đó \(AM \cdot AB = AM \cdot AC \cdot \cos \widehat {HAC}\) (đpcm).

c) Xét \(\Delta MBI\) và \(\Delta HNI\) có

\(\widehat {BMI} = \widehat {IHN} = 90^\circ \); \(\widehat {BIM} = \widehat {NIH}\) (hai góc đối đỉnh)

Suy ra $\frac{IB}{IN} = \frac{BM}{HM} \left(1\right)$

Ta có \(HM \bot AB\) và \(AC \bot AB\) nên \(MH\,\,{\rm{//}}\,\,AC\) suy ra \[\frac{{BM}}{{HN}} = \frac{{MH}}{{NC}}.\]

Vì \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\] nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {MAN} = 90^\circ \).

Vì \(HM \bot AB\) và \(AC \bot AB\) nên \(\widehat {AMH} = 90^\circ \,;\,\,\widehat {ANH} = 90^\circ \)

Xét tứ giác \(AMHN\) có \(\widehat {MAN} = 90^\circ \,;\,\,\widehat {AMH} = 90^\circ \,;\,\,\widehat {ANH} = 90^\circ \).

Suy ra tứ giác \(AMHN\) là hình chữ nhật nên \(MH = AN.\)

Do đó $\frac{BM}{HN} = \frac{MH\hspace{0.17em}}{NC} = \frac{AN\hspace{0.17em}}{NC} \left(2\right)$

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \[\frac{{IB}}{{IN}} = \frac{{AN}}{{NC}}.\] (đpcm)