Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có AH là đường cao. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Gọi S là giao điểm của BC, DE. M là trung điểm của BC. Chứng minh SH2 + AM2 = SM2

Tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến.

Suy ra AM = MB = MC.

Tứ giác ADHE, có: DAE^=ADE^=AEH^=90°

Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

Xét ∆ADE và ∆EHA, có:

AD = EH (ADHE là hình chữ nhật);

DAE^=AEH^=90°

AE chung.

Do đó ∆ADE = ∆EHA (c.g.c).

Suy ra ADE^=AHE^ (cặp góc tương ứng).

Mà ADE^=SDB^ (đối đỉnh).

Do đó SDB^=AHE^

Vì vậy SDB^+90°=AHE^+90°

Suy ra SDB^+BDH^=AHE^+BHA^

Do đó SDH^=SHE^

Xét ∆SHD và ∆SEH, có:

DSH^ chung;

SDH^=SHE^ (chứng minh trên).

Do đó ΔSHD∽ΔSEH(g.g).

Suy ra SHSE=SDSH

Vì vậy SH² = SE.SD   (1)

Ta có AHE^=SCE^ (cùng phụ với HAC^).

Mà SDB^=AHE^ (chứng minh trên).

Suy ra SDB^=SCE^

Xét ∆SBD và ∆SEC, có:

DSB^ chung;

SDB^=SCE^ (chứng minh trên).

Do đó ΔSBD∽ΔSEC(g.g).

Suy ra SBSE=SDSC

Vì vậy SB.SC = SD.SE    (2)

Từ (1), (2), suy ra SH² = SB.SC = (SM – MC)(SM + MC).

= SM² – MC² = SM² – AM².

Vậy SH² + AM² = SM² (điều phải chứng minh).