Cho tam giác ABC vuông tạ B có AD là tia phân giác của góc BAC

GT \(\Delta ABC\) vuông tại \[B\]; \(\widehat {BAD} = \widehat {IAD}\)\(\left( {D \in BC} \right)\); \[DI \bot AC\,\,\left( {I \in AC} \right);\]\[CK \bot AD\,\,\left( {K \in AD} \right);\] \[CK \cap AB = E.\] KL a) \(AB = AI\). b) \[K\] là trung điểm của \[CE\] và \(\Delta AEC\) cân. c) Ba điểm \[E,{\rm{ }}D,{\rm{ }}I\] thẳng hàng.

a) Xét\(\Delta ABD\) và\(\Delta AID\)có:

\(\widehat {ABD} = \widehat {AID} = 90^\circ \);\(AD\)là cạnh chung; \(\widehat {BAD} = \widehat {IAD}\)(vì \[AD\] là phân giác của\(\widehat {BAC}\,).\)

Do đó\(\Delta ABD = \Delta AID\) (cạnh huyền – góc nhọn).

b) Xét\(\Delta AEK\) và\(\Delta ACK\) có:

\(\widehat {AKE} = \widehat {AKC} = 90^\circ \); \[AK\] là cạnh chung;\(\widehat {EAK} = \widehat {CAK}\) (vì \[AD\] là tia phân giác của\(\widehat {BAC}\,).\)

Do đó\(\Delta AEK = \Delta ACK\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).  

Suy ra\(EK = CK\,;\,\,AE = AC\) (hai cạnh tương ứng).

Vì \[K \in CE\] và \(EK = CK\) nên \[K\] là trung điểm của \[CE\].

Vì \(AE = AC\) nên \(\Delta AEC\)cân tại \(A\).

c) Ta có\(BC \bot AB\) (vì \(\Delta ABC\) vuông tại \[B\]); \(E \in AB\) nên \(BC\) là đường cao của \(\Delta AEC.\)

Ta thấy \(\Delta AEC\) có \[BC\] và \[AK\] là đường cao .

Mà\[BC\] cắt\[AK\] tại \[D.\]Do đó \[D\] là trực tâm của\(\Delta AEC\).

Suy ra \(ED\) thuộc đường cao của \(\Delta AEC\) nên \(D\) thuộc đường cao của \(\Delta AEC\) hay \(ED \bot AC\).

Mặt khác \[DI \bot AC\], do đó ba điểm \[E,{\rm{ }}D,{\rm{ }}I\] thẳng hàng.