Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chọn đáp án sai trong các đáp án sau:

4/10

Tứ giác ABCD nội tiếp.

\[\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\].

CA là phân giác của góc SCB.

Tứ giác ABCS nội tiếp.

Giải thích

Đáp án đúng là: D

• Ta có

\[\widehat {MDC}\] là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MC nên \[\widehat {MDC} = 90^\circ \] (tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét ∆BAC vuông tại A nên A, B, C thuộc đường tròn đường kính BC.

Xét ∆BDC vuông tại D nên D, B, C thuộc đường tròn đường kính BC.

Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn hay tứ giác A, B, C, D nội tiếp.

• Xét tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên \[\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\] (cùng nhìn đoạn AD).

Do đó, phương án B đúng.

Xét đường tròn đường kính MC ta có 4 điểm M, C, D, S cùng thuộc đường tròn nên tứ giác MCSD là tứ giác nội tiếp.

Suy ra \[\widehat {MDA} = \widehat {SCM}\] (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện) (1)

Vì tứ giác ABCD nội tiếp (cmt) nên \[\widehat {ACB} = \widehat {ADB}\] (cùng nhìn đoạn AB) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {BCA} = \widehat {ACS}\] \[\left( { = \widehat {ADB}} \right)\]

Hay CA là phân giác của \[\widehat {SCB}\]. Do đó, ý C đúng.

• Giả sử tứ giác ABCS là tứ giác nội tiếp thì \[\widehat {ASB} = \widehat {BCA}\] (hai góc cùng nhìn đoạn AB)

Mà \[\widehat {BCA} = \widehat {BDA}\]; \[\widehat {BDA} \ne \widehat {BSA}\] (xét trong đường tròn đường kính CM).

Suy ra \[\widehat {BCA} \ne \widehat {BSA}\], do đó tứ giác ABCS không nội tiếp.

Do đó, ý D sai.