Cho tam giác ABC vuông cân tại A, tia phân giác của góc B và góc C cắt AC và AB lần lượt tại E và D.

a) Do tam giác ABC vuông cân nên ABC^ = ACB^⇒ABE^ = ACD^

Xét tam giác vuông ABE và tam giác vuông ACD có:

AB = AC (gt)

ABE^ = ACD^

⇒ΔABE = ΔACD (Cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

⇒ BE = CD; AE = AD

b) I là giao điểm của hai tia phân giác góc B và góc C của ΔABCnên AI cũng là phân giác góc A.

Do ΔABC cân tại A nên AI là phân giác đồng thời là đường cao và trung tuyến.

Vậy thì AMC^ = 90o; BM = MC = AM

Từ đó suy ra ΔAMC vuông cân tại M.

c) Gọi giao điểm của DH, AK với BE lần lượt là J và G.

Do DH và AK cùng vuông góc với BE nên ta có

ΔBDJ = ΔBHJ; ΔBAG = ΔBKG⇒BD = BH; BA = BK

⇒HK=AD

Mà AD = AE nên HK = AE.    (1)

Do ∆BAK cân tại B, có o⇒BAK^ = 180o - 45o2 = 67,5o

⇒GAE^ = 90o - 67,5o = 22,5o = IAE^2

Suy ra AG là phân giác góc IAE.

Từ đó ta có KAC^ = ICA^ = 22,5o

⇒ΔAKC = ΔCIAg - c - g⇒KC = IA

Lại có ∆AIEcó AG là phân giác đồng thời đường cao nên nó là tam giác cân, hay AI = AE. Suy ra KC = AE (2)

Từ (1) và (2) suy ra HK = KC.