Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi D là trung điểm của BC. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại F. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại E. Trong ba cạnh của tam giác ABC, có tất

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Vì DABC vuông cân tại A nên \(\widehat {{\rm{FAE}}} = 90^\circ \) và AD là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của tam giác đó.

Suy ra AD là tia phân giác của \(\widehat {{\rm{FAE}}}\).

Vì DF ^ AC tại F nên \(\widehat {{\rm{DFA}}} = 90^\circ \), DE ^ AB tại E nên \(\widehat {{\rm{DEA}}} = 90^\circ \).

Tứ giác AEDF có: \(\widehat {{\rm{DFA}}} = \widehat {{\rm{DEA}}} = \widehat {{\rm{FAE}}} = 90^\circ \) nên tứ giác AEDF là hình chữ nhật.

Mà AD là tia phân giác của \(\widehat {{\rm{FAE}}}\) nên tứ giác AEDF là hình vuông.

Suy ra DF = DE.

Do đó, E thuộc đường tròn (D; DF).

Vì DF ^ AC tại F, F thuộc đường tròn (D; DF) nên AC là tiếp tuyến của đường tròn (D; DF).

Vì DE ^ AB tại E, E thuộc đường tròn (D; DF) nên AB là tiếp tuyến của đường tròn (D; DF).

Vì CB và đường tròn (D; DF) có hai điểm chung nên CB không là tiếp tuyến của (D; DF).

Vậy trong ba cạnh của DABC, có tất cả 2 cạnh tiếp xúc với đường tròn (D; DF).